Test basati sulla funzione di verosimiglianza

test basati sulla funzione di verosimiglianza

La f. di v. rappresenta la base per la costruzione di diversi t. statistici (➔ test) per la verifica di ipotesi annidate (➔ ipotesi statistica). Precisamente, dato un modello parametrico F={f(x;θ),θ∈Θ}, si vuole verificare l’ipotesi nulla che θ∈Θ₀, dove Θ₀ è un sottoinsieme proprio dello spazio dei parametri Θ definito da un insieme di vincoli, contro l’alternativa che θ non appartenga a Θ₀. Dato un campione statistico e l’ipotesi θ∈Θ₀, si possono considerare due diversi problemi di stima. Il primo è quello di massimizzare la v. senza alcun vincolo e ha come soluzione lo stimatore di massima v. (MV) non vincolato θ^. Il secondo, il problema di massimizzare la v. sotto i vincoli che definiscono l’ipotesi nulla ha come soluzione lo stimatore di MV vincolato θ^₀. L’idea dei t. b. sulla f. di v. è che, se l’ipotesi nulla è vera, i due problemi dovrebbero avere la stessa soluzione, quindi la statistica test dovrebbe misurare opportunamente la distanza tra i due ‘massimi’. Partendo da questo principio, si possono distinguere 3 famiglie di t., a seconda del tipo di distanza usata.

Test del rapporto delle verosimiglianze

Misura la differenza tra i valori massimi della logverosimiglianza non vincolata e di quella vincolata. La statistica test è il logaritmo del rapporto delle v., LR=2(logL(θ^)−log(θ^₀))=2log(L(θ^)/L(θ^₀)), da cui il nome del test. Per effettuare questo t. è necessario risolvere entrambi i problemi di massimizzazione.

Test di Wald

Se l’ipotesi nulla è un’ipotesi semplice, del tipo Θ₀={θ}, si misura direttamente la distanza tra θ^ e il valore di θ sotto l’ipotesi nulla, cioè θ₀. La statistica test è quindi W=(θ^−θ₀)²/Var(θ^). Il termine a denominatore, Var(θ^), è la varianza dello stimatore θ^ (o una sua stima consistente). Questo termine è necessario per ottenere una distribuzione asintotica (➔ asintotica, distribuzione) nota. Più in generale, se l’ipotesi nulla è definita da una o più equazioni del tipo g(θ)=0, la statistica test è funzione della quantità g(θ^), opportunamente standardizzata. Per il calcolo di questo t. è sufficiente conoscere il valore dello stimatore di MV non vincolato. Uno svantaggio del t. è quello di dare risultati differenti se il problema viene parametrizzato in modo diverso, cosa che invece non accade usando il t. del rapporto delle verosimiglianze.

Test del gradiente o dei moltiplicatori di Lagrange

Parte dal fatto che, sotto condizioni di regolarità, il gradiente (cioè il vettore delle derivate prime) della logverosimiglianza calcolato nel massimo non vincolato θ^ è nullo, mentre non lo è se calcolato nel massimo vincolato θ^₀. Il t. è detto del gradiente perché si basa sulla distanza da zero del gradiente della logverosimiglianza. Si mostra che il t. può equivalentemente essere basato sulla distanza da zero del vettore dei moltiplicatori di Lagrange (➔ Lagrange, moltiplicatore di) associato con i vincoli che definiscono l’ipotesi nulla. Per il calcolo di questo t. è sufficiente conoscere lo stimatore di MV vincolato. Sotto condizioni generali, la distribuzione asintotica delle 3 statistiche test sotto l’ipotesi nulla è la stessa ed è una distribuzione chi quadrato, con numero di gradi di libertà uguale al numero di vincoli sullo spazio dei parametri che definiscono l’ipotesi nulla.