Giochi, teoria dei

giochi, teoria dei

Sorta nell’ambito dell’economia, la teoria dei g. trovò i suoi primi sviluppi dalla collaborazione tra il matematico J. von Neumann e l’economista O. Morgenstern (Theory of games and economic behavior, 1944, 1947 ed. completa; trad. it. La teoria dei giochi e del comportamento economico). Nell’ambito dell’economia essa ha come principale oggetto lo studio delle circostanze connesse al rischio delle decisioni economiche. Suo elemento caratteristico è il fatto che essa affronta non soltanto problemi relativi a un antagonismo di più volontà o più interessi ma anche, talora, problemi nei quali agisce una sola volontà che deve però prendere decisioni di fronte a cause estrinseche, quali sono, per es., i rischi derivanti da fenomeni naturali. I problemi vantaggiosamente studiati mediante la teoria dei g. sono quelli in cui l’utilità di ciascuno dipende dal comportamento di tutti gli altri operatori; innanzitutto le situazioni di concorrenza oligopolistica, irrisolvibili con gli strumenti della microeconomia neoclassica.

In matematica

La teoria si è poi ampiamente sviluppata nell’ambito matematico, sulle basi del calcolo delle probabilità, soprattutto in relazione alla ricerca operativa. In essa sono prese in considerazione le situazioni di competizione o di conflitto, in cui a determinare il risultato concorrono le azioni di due o più persone (o gruppi di persone), dette giocatori, con interessi contrastanti, più, eventualmente, il caso. Tipici esempi di tale situazione sono i g. di carte, in cui norme precise fissano le possibili azioni dei giocatori, il ruolo del caso, e il risultato che ne deriva; ma le applicazioni della teoria dei g. hanno un campo molto più vasto, pur con le inevitabili inesattezze derivanti dal costringere una situazione reale in uno schema matematico: in economia (per la quale la teoria è stata sviluppata), nell’industria, in situazioni militari, ecc. La principale caratteristica dei g. è che ciascun giocatore conosce le possibili azioni degli altri giocatori (con i risultati che ne conseguono) ma non sa quale sarà la loro scelta: di qui la difficoltà della decisione. In generale in un g. ciascun giocatore è chiamato a fare più ‘mosse’ successive. Si può però immaginare che un giocatore decida fin dall’inizio quali scelte fare nel corso del g., tenendo conto delle situazioni che si possono presentare. La linea d’azione così fissata prende il nome di strategia. Se nei g. vi sono scelte che dipendono dal caso (per es., la distribuzione delle carte nel poker), si valuta il risultato mediante il suo valore medio; questo procedimento, che sarebbe criticabile, si giustifica ricorrendo al concetto di utilità del risultato per il giocatore. Se vengono indicate le possibili strategie dei vari giocatori, e i risultati che ne derivano, il g. si dice in forma normale, in contrapposizione alla rappresentazione ad albero, o estensiva, che indica per ogni mossa le diverse alternative. I g. per cui la teoria è più semplice e meglio sviluppata sono quelli di due giocatori a somma nulla, cioè tali che quello che perde un giocatore viene vinto dall’altro e viceversa, senza pagamenti verso l’esterno o dall’esterno. In tal caso basta indicare le vincite (o perdite) di un giocatore; quelle dell’altro giocatore sono l’opposto. Una tipica rappresentazione di un g. in forma normale si ha mediante la tabella (o matrice) dei pagamenti, come quella rappresentata qui sotto, in cui x₁, x₂, x₃ sono le strategie del giocatore, A e y₁, y₂, y₃, y₄ le strategie di B; agli incroci delle righe con le colonne sono riportate le vincite (le perdite se il numero è negativo) di A, che sono insieme le perdite (o le vincite) di B:

Strategie di gioco

In alcuni g. un giocatore ha una strategia ottima. Tra questi vi sono i g. a informazione perfetta, in cui a ogni mossa i giocatori conoscono tutte le scelte precedenti: per es., negli scacchi un giocatore (o un elaboratore elettronico) che potesse prendere in considerazione tutte le strategie possibili, troverebbe la strategia ottima. Ma in molti g., come è evidente in quello della tabella, nessuno dei due giocatori ha una strategia migliore delle altre in senso assoluto. Esiste però nella tabella un valore (1, corrispondente alle strategie x₂ e y₂) che è insieme il minimo della sua riga e il massimo della colonna. Si dice allora che il g. ha un punto di sella o che ha il minimax (x₂ e y₂ sono dette allora strategie minimax), ed esistono validi motivi che consigliano la scelta della strategia minimax. Infatti A scegliendo x₂ si assicura comunque la vincita 1; potrebbe aspirare a un risultato migliore, ma sa che B, scegliendo y₂, può costringerlo ad accontentarsi di vincere 1, e metterlo anzi a rischio di ottenere un risultato peggiore; inoltre la scelta di x₂ è l’unica che non lo danneggia se B in qualche modo riesce a conoscerla o prevederla. Così, la scelta della strategia minimax, se esiste, si impone, non essendovi una strategia migliore in senso assoluto. Quando in un g. non esiste il minimax, per cercare una soluzione al problema occorre ricorrere a una scelta casuale che consiste nello scegliere a caso la strategia (per es., lanciando dei dadi, o delle monete, ecc., oppure mediante una tavola di numeri casuali) dopo aver scelto in modo opportuno le probabilità delle singole strategie. In questo caso la scelta del giocatore consiste nel fissare le probabilità delle strategie (ciò viene detto strategia mista, chiamando strategie pure quelle considerate finora), mentre la scelta definitiva della strategia è fatta dal caso. Osserviamo che si hanno g. in cui le strategie possono variare in modo continuo: in essi, sia A sia B hanno a disposizione infinite strategie e la tabella dei guadagni viene sostituita da una funzione M(x, y) che per ogni strategia x di A e y di B dà la vincita di A. La soluzione ottimale è allora di solito rappresentata da una strategia mista, che si può precisare, come tra poco verrà chiarito, mediante due opportune funzioni. L’affidarsi al caso per una decisione può ovviamente prestarsi a critiche, specialmente di ordine psicologico; senza addentrarsi in una approfondita analisi, si riportano qui alcune osservazioni. Anzitutto il giocatore interviene nella decisione scegliendo le probabilità delle strategie pure; come caso limite può assegnare probabilità 1 a una strategia pura (e 0 alle altre), il che equivale a scegliere direttamente quella strategia. In secondo luogo il ricorso alle strategie miste è il miglior modo per mantenere l’avversario all’oscuro della propria scelta, e impedirgli di prendere contromisure. Ma bisogna soprattutto notare che, mediante una scelta opportuna della strategia mista, se non si ottiene con sicurezza un buon risultato, si riesce a migliorare il risultato medio, e, come si è osservato, è questo l’obiettivo della teoria.