SPERANZA DI VITA

Enciclopedia Italiana - V Appendice (1995)

SPERANZA DI VITA

Carla Bielli

Con l'espressione s. di v. (equivalente al concetto di vita media, o numero ulteriore di anni di vita dopo l'età x) viene designato un indicatore della durata media della vita a partire da un'età data, usato nelle scienze attuariali e nelle statistiche demografiche e calcolato per mezzo delle costanti biometriche riportate nelle tavole di mortalità. Esso si basa sul seguente modello teorico: si consideri un numero qualsiasi l0 di individui appena nati e se ne osservi la progressiva diminuzione per morte al passare del tempo; nell'intervallo di tempo intercorso tra la nascita e un dato numero di anni x susseguenti, un certo numero di individui saranno deceduti; coloro che saranno sopravviventi avranno l'età x: s'indichi con lx il numero di questi ultimi; s'indichi infine con ω il tempo x immediatamente precedente la morte dell'ultimo individuo sopravvivente (il tempo cioè al quale lx = 0); si definisca la funzione di sopravvivenza determinata dai diversi valori di lx per ogni x (questa può essere rappresentata graficamente come nella fig.); tra ogni età x e un piccolo incremento dx, ossia tra ogni età x e x + dx, un numero di individui pari a dlx risulterà deceduto e, se dx viene preso sufficientemente piccolo, dlx può essere considerato pari al numero di coloro che sono deceduti all'età esatta x; l'età media alla morte per tutti gli individui sopravviventi a una data età x- dalla quale viene detratta l'età x già raggiunta − è la durata media della vita dopo l'età x e viene indicata col simbolo x; la durata media della vita dopo la nascita, 0, è l'età media alla morte per tutti gli l0 nati e a questo concetto è riferito il termine ''speranza di vita''. La s. di v. rappresenta un concetto diverso da quello di vita probabile, corrispondente all'età mediana alla morte (l'età x alla quale si dimezza il contingente iniziale di nati l0, cioè l'età x alla quale lx = l0/2). Un'estensione del modello appena descritto, consistente nel seguire, anno dopo anno, la progressiva estinzione per morte di una generazione di nati, la cui numerosità sia pari a l0, costituisce il modello della genesi di una popolazione, che viene definita popolazione stazionaria.

In un'ipotetica popolazione da cui sono completamente esclusi flussi migratori in entrata e in uscita, si consideri una successione temporale di nascite di numerosità costante pari a l0. Dal tempo x = 0, quando il numero degli individui esistenti è pari a l0, al termine di un primo intervallo di tempo successivo dx, infinitesimo, si verificano i seguenti avvenimenti: a) del gruppo originario l0 di nati risulteranno deceduti un certo numero di individui dl0; i sopravviventi, ridotti al numero l1 = l0dl0, raggiungono l'età 0 + dx; b) il gruppo originario di nati viene rimpiazzato da un nuovo gruppo di nati, la cui numerosità è sempre pari a l0. Al termine di un secondo infinitesimo intervallo di tempo, si verificano i seguenti avvenimenti: a) il gruppo originario di nati si sarà ridotto al numero l2 = l1dl1 e avrà raggiunto l'età 0 + 2dx; b) il secondo gruppo di nati si sarà ridotto al numero l1 = l0dl0 e avrà raggiunto l'età 0 + dx; c) un terzo gruppo di nati, la cui numerosità è sempre pari a l0, rimpiazzerà il secondo. A ogni istante di tempo, compreso tra gli estremi x = 0 e x = ω, corrispondenti rispettivamente al momento della nascita e della totale estinzione del gruppo originario di nati, la numerosità della popolazione di età x corrisponde a quanti, di tale gruppo, risultano sopravviventi all'età x. Da tale istante in poi la popolazione è stazionaria rispetto alla numerosità di individui presenti a ciascuna età; a ogni età, infatti, un certo numero di individui muore, i sopravviventi invecchiano e passano all'età successiva; l'intero gruppo viene rimpiazzato dai sopravviventi dell'età immediatamente più giovane. Nel modello di popolazione stazionaria, a ogni istante, esiste lo stesso numero di persone viventi a ogni specifica età x e, inoltre, l'ammontare totale della popolazione è uguale a uno stesso numero, definito come il numero complessivo di anni/persona vissuti da ciascuno degli l0 individui nell'intervallo dalla nascita all'età limite ω, quando l'ultimo sopravvivente muore.

Esiste una corrispondenza matematica tra i due modelli descritti: quello che descrive l'osservazione di una particolare generazione di l0 nati fino alla completa estinzione e quello che rappresenta la popolazione stazionaria a un certo istante. Il numero totale di anni/persona vissuti da ciascuno degli lx individui (sopravviventi all'età x), nel passaggio dall'età x all'età ω (limite della durata di vita) corrisponde al numero totale della popolazione di età superiore a x, presente in un dato istante nella popolazione stazionaria. Detto numero equivale matematicamente all'area sottostante la curva che rappresenta la funzione di sopravvivenza precedentemente definita, dall'età x in poi x; la s. di v. all'età x corrisponde al suddetto numero diviso per lx. Allo stesso modo, 0, la s. di v. alla nascita, è uguale all'ammontare complessivo dell'area sottostante alla funzione di sopravvivenza, diviso per l0, e rappresenta l'età media alla morte di ciascuna persona appartenente alla popolazione stazionaria.

Il modello di popolazione stazionaria viene analogicamente sovrapposto alla realtà demografica delle popolazioni per le quali sono regolarmente calcolati i valori della s. di v., ossia per le quali si dispone di un moderno sistema di rilevazione delle statistiche demografiche. Permane tuttavia una differenza sostanziale. Si consideri una popolazione a un certo istante: essa avrà una particolare struttura per età corrispondente al numero di individui censiti (o enumerati) alle varie età. Detta struttura è sostanzialmente differente da quella della popolazione stazionaria e dipende da flussi migratori estremamente variabili nel tempo e nella composizione per età; da flussi annuali di nascite di numerosità variabile; e da rischio di morte per età tendenzialmente decrescente nel tempo. Perché una popolazione divenga stazionaria, devono infatti realizzarsi le seguenti condizioni per un numero di anni superiore a 100 (pari cioè a ω, ossia per un numero di anni pressoché corrispondente alla durata limite della vita): flussi migratori inesistenti; numero annuale delle nascite costante; rischio di morte alle varie età immutato nel corso del tempo (il rischio di morire a una data età rimane identico da una generazione all'altra).

È allora importante chiarire come la s. di v. possa essere considerata la durata media della vita anche nelle popolazioni reali. A questo scopo è utile conoscere il procedimento di calcolo della s. di v. per una popolazione reale in modo da chiarire che in una certa popolazione e in un certo anno il valore della s. di v. a una data età x dipende unicamente dai tassi specifici di mortalità registrati nella popolazione in questione, nell'anno di osservazione a partire dall'età x.

Per effettuare questo calcolo, è indispensabile la costruzione di una tavola di mortalità: l'informazione chiave è la probabilità di morire entro un anno dopo il compimento di ciascun anno di età. Per la popolazione in questione, è indispensabile conoscere, per tutte le età, il numero di persone le quali, avendo compiuto un certo anno di età (per es. 25 anni), muoiono prima del compleanno successivo (per es. 26 anni). La probabilità di morire nell'anno compreso tra l'x° compleanno e quello immediatamente successivo, l'(x + 1)°, è indicata con il simbolo qx; con il simbolo px è indicata invece la probabilità di sopravvivere nello stesso intervallo di tempo. Le due probabilità sono complementari: qx + px = 1. I dati di base occorrenti per il calcolo delle due probabilità sono: a) il numero delle persone di ogni singola classe di età viventi a un certo istante: Px; b) il numero di decessi per età alla morte, avvenuti nell'anno, centrato su detto istante: Mx.

Le fonti demografiche che forniscono tali dati sono rispettivamente le enumerazioni della popolazione a calcolo o per mezzo del censimento, e i registri dello stato civile, presso il quale avvengono le denunce dei casi di morte. Le cifre fornite dalle fonti permettono il calcolo immediato dell'incidenza media dei decessi per ogni età: Mx/Px = mx nell'anno di cui il censimento costituisce il punto centrale. Questa misura differisce però da qx, la quale si riferisce invece al numero di decessi avvenuti in un anno all'interno del gruppo di individui che hanno compiuto l'x° compleanno entro l'anno. Un esempio può chiarire la differenza tra mx e qx. Si faccia riferimento al caso di un censimento alla data del 30 giugno di un certo anno e alla morte di una persona avvenuta all'età di 25 anni nello stesso anno. Se il 25° compleanno fosse stato il 15 luglio e la persona fosse morta il 30 agosto, il certificato di morte riporterebbe l'età 25 anni, mentre la stessa persona risulterebbe enumerata tra quelle di 24 anni di età al censimento. Questa imprecisione, tollerata nella misura mx, necessita di una correzione per definire la misura qx. Quest'ultima può essere stimata come una combinazione lineare degli mx, secondo la formula:

ipotizzando un andamento lineare della funzione di sopravvivenza tra l'età x e l'età x + 1.

Disponendo della successione delle qx per tutte le età, a partire dall'età 0, si può calcolare la corrispondente successione dei sopravviventi a ogni età, partendo da un contingente iniziale di nati, convenzionalmente fatto pari a 100.000, denominato ''radice'' della tavola e indicato con il simbolo l0. Il numero dei sopravviventi all'età 1 sarà dato dal prodotto l1 = l0p0 in quanto uguale all'insieme iniziale di individui, pari a l0 diminuito del numero dei decessi, pari a l0q0 e ricordando che vale la relazione: p0 = (1−q0);

l1 = l0l0q0 = l0(1−q0) = l0p0

allo stesso modo:

l2 = l1l1q1 = l1(1−q1) = l1p1 = l0p0p1

e più in generale:

dove Π rappresenta il prodotto delle px per x che varia da 0 a ω, età limite della durata della vita, alla quale l = 0.

Ricordando quanto detto precedentemente, ossia che la s. di v. dopo l'età x corrisponde all'area sottostante la funzione di sopravvivenza a destra del valore x, divisa per lx, basterà introdurre l'ipotesi semplificatoria che la stessa funzione abbia un andamento lineare all'interno di ogni singolo anno di età. Ovvero che l'area compresa tra due valori contigui di lx sia uguale alla semisomma di detti valori. Cosicché l'area da x = 0 a x = 1 è:

l'area tra x = 1 e x = 2 è:

e così via. L'area totale tra x e ω è pertanto espressa dalla formula

dove Σ rappresenta la somma degli l da x in poi. La s. di v. all'età x si ottiene dividendo la quantità precedente per lx e corrisponde al valore:

La s. di v. alla nascita:

In definitiva la s. di v. calcolata per una popolazione reale in un dato anno dipende unicamente dai tassi specifici di mortalità registrati in quella popolazione e in quell'anno. Ma, per quanto detto all'inizio a proposito della popolazione stazionaria, tale valore può essere letto anche come l'età media alla morte in una popolazione stazionaria in cui il regime complessivo della mortalità corrisponda a quello espresso dai tassi di mortalità registrati nella popolazione reale, ossia in una popolazione nella quale quei tassi specifici di mortalità per età fossero rimasti invariati per almeno cento anni. Dalle considerazioni appena espresse è facile comprendere l'utilità della s. di v. come indicatore sintetico delle condizioni di mortalità di una popolazione.

Le prime stime attendibili della s. di v. sono disponibili per alcuni paesi europei, a partire dalla seconda metà del 19° secolo. Osservando la tab. 1, si può apprezzare il grande successo conseguito in tali paesi, negli ultimi 150 anni, nel controllare la mortalità. Si può anche notare che la popolazione femminile ha notevolmente accresciuto il vantaggio in termini di sopravvivenza, testimoniato già dalle statistiche più antiche, rispetto a quella maschile, e che il divario risulta tanto più netto quanto più elevati risultano i valori della s. di vita.

Molto probabilmente, differenze nei regimi di mortalità caratterizzanti le varie popolazioni del pianeta sono sempre esistite, mai però di proporzioni rilevanti, come nei tempi attuali. Nella tab. 2 sono riportati i valori minimi e massimi della s. di v. alla nascita registrati in ciascun continente. Si può constatare la coesistenza di situazioni con una s. di v. quasi doppia rispetto alle prime stime europee del 1800 (75-80 anni), con situazioni in cui i progressi nel controllo della mortalità sono stati modestissimi o nulli (45-55 anni).

La popolazione italiana è attualmente caratterizzata da livelli di sopravvivenza tra i più alti registrati nel continente europeo; osservando la tab. 3, possono inoltre essere apprezzati sia la portata dei progressi attuati nel controllo della mortalità (più accentuati per la popolazione femminile), sia l'attenuazione dei dislivelli regionali, maturata nel periodo dagli anni Venti agli anni Novanta.

Bibl.: L.I. Dublin, A.J. Lotka, M. Spiegelman, Length of life, New York 1949; N. Federici, Istituzioni di demografia, Roma 1979; M. Livi Bacci, Introduzione alla demografia, Torino 1990.

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