Spazio vettoriale topologico

Enciclopedia della Matematica (2013)

spazio vettoriale topologico


spazio vettoriale topologico spazio vettoriale X dotato di una struttura topologica τ tale che le operazioni di addizione e di moltiplicazione per uno scalare risultino continue (alcuni autori aggiungono anche la condizione che ogni punto sia un insieme chiuso, e ciò implica che lo spazio sia di Hausdorff).

Sono particolarmente importanti gli spazi vettoriali topologici localmente convessi, cioè quelli che hanno una base di intorni dell’origine formata da insiemi convessi. La loro topologia è individuata da una famiglia di seminorme, cioè di funzionali p(x) che soddisfano le proprietà:

a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (subadditività)

b) px) = |α|p(x)

(Se si aggiunge la condizione di annullamento p(x) = 0 se e solo se x = 0 una seminorma diviene una norma). Una famiglia P di seminorme si dice separante se ∀x ≠ 0 esiste pP tale che p(x) ≠ 0. Per esempio, in Rn una famiglia di seminorme è data da pk(x) = |xk|, dove xk è la componente k-esima di x.

Si consideri un insieme convesso A che sia assorbente, cioè sia tale che ∀xX, ∃t > 0: xtA, dove l’insieme tA è dato da {x: ∃aA, tale che x = ta}. Il funzionale di Minkowski μA(x) dell’insieme A è definito da: μA(x) = inf{t > 0: t−1x ∈ A}. Se A è anche bilanciato, cioè se tAA per ogni t con |t | ≤ 1, il funzionale di Minkowski è una seminorma in X. Viceversa, data una famiglia separante P di seminorme in uno spazio vettoriale X, l’insieme di tutte le intersezioni finite degli insiemi

formula

forma una base di intorni dell’origine che rende X spazio vettoriale topologico localmente convesso.

Se P è numerabile, la topologia è metrizzabile e una distanza d è data da

formula

Per esempio, se Ω è un aperto di Rn, lo spazio C(Ω) formato dalle funzioni f continue in Ω può essere dotato delle seminorme

formula

dove {Kn} è una famiglia di compatti tali che Kn sta all’interno di Kn+1 e la cui unione è Ω. Nella metrica sopra indicata, C(Ω) risulta completo: si dice che è uno spazio di Fréchet, cioè è uno spazio localmente convesso completo in una metrica invariante per traslazioni. Lo stesso si può dire per lo spazio C (Ω), con le seminorme

formula
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