Spazio topologico duale

spazio topologico duale

spazio topologico duale di uno spazio topologico X*, è lo spazio vettoriale completo X′ (talvolta denotato con X*) costituito dai funzionali lineari e continui su X*. Il valore dell’applicazione di x′ ∈ X′ all’elemento x ∈ X* si designa sovente con il crochet <x′, x> oltre che con x′ (x). Se X* è uno spazio normato, X′ è uno spazio di Banach con la norma

La topologia indotta da questa norma si chiama topologia forte di X′. La topologia debole di X′ invece è la topologia meno fine in cui tutti i funzionali <x′, x> sono continui. Il duale X″ del duale di X* si chiama biduale e contiene X*; se X″ = X*, lo spazio X* si dice riflessivo. Per esempio, sono riflessivi tutti gli spazi di → Hilbert e gli → spazi L^p(Ω), con 1 < p < ∞, il duale essendo L^p′ (Ω), con

in virtù della disuguaglianza di → Hölder. Non lo è invece L¹(Ω), che ha per duale L^∞(Ω); L^∞(Ω)′ contiene però altri funzionali non esprimibili mediante integrali di → Lebesgue (gli elementi di L^∞(Ω)′ costituiscono le cosiddette misure di → Radon, che sono finitamente additive).