Spazio delle distribuzioni

Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)

spazio delle distribuzioni

Luca Tomassini

Una generalizzazione del concetto classico di spazio di funzioni, la cui necessità si presenta in molti problemi fisici e matematici. Il concetto di distribuzione (o anche funzione generalizzata) permette di esprimere in maniera rigorosa concetti quali per es. la densità di un punto materiale o l’intensità di una sorgente istantanea. D’altro canto, il concetto di distribuzione riflette il fatto che in realtà una quantità fisica non può essere misurata in un punto: solo valori medi in un intorno di esso sono accessibili all’esperienza, una situazione per l’appunto convenientemente descritta facendo uso di distribuzioni di valori possibili. Formalmente, una distribuzione è definita come un funzionale lineare continuo φ su un qualche spazio vettoriale topologico F di funzioni (dette funzioni test) sufficientemente regolari: (a) φ(f1+f2)=φ(f1)+φ(f2) e φ(λf)=λφ(f) per ogni f1,f2,fF e λ∈ℂ; (b) φ(fi)→φ(f) se fif nella topologia di F. In altri termini, uno spazio di distribuzioni è definito come spazio duale (topologico) F* di un qualche spazio vettoriale topologico di funzioni F sufficientemente regolari. Poiché dalla relazione GF (G si intende dotato della topologia indotta da F) segue in generale che G*F*, è evidente che considerando spazi di funzioni test più regolari si estende la classe di distribuzioni considerata. Un importante esempio di spazio di funzioni test è costituito dallo spazio D(O) delle funzioni infinitamente differenziabili su un aperto connesso O⊂ℝn con supporto compatto (chiuso e limitato) contenuto in O, dotato di un’opportuna topologia. Spesso il termine spazio di distribuzioni è utilizzato per indicare lo spazio D(O)*. Il più semplice esempio di distribuzioni (in D(O)*) è fornito dalle funzioni localmente integrabili φ e

formula

per ogni fD(O). In questo senso, funzioni ordinarie come le funzioni integrabili sono distribuzioni. Viceversa, se una distribuzione può essere definita tramite la formula precedente in termini di funzioni localmente integrabili essa è detta regolare e singolare in caso contrario. Un importante esempio di distribuzione singolare su ℝn è la δ di Dirac, definita dalla relazione δ(f)=f(0) per fD(ℝn). Talvolta si scrive anche

formula

e per questa ragione si usa affermare che la δ di Dirac è una funzione nulla ovunque tranne che nell’origine di ℝn, dove vale +∞. È quindi chiaro che in generale una distribuzione può non essere definita in un singolo punto.

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