Spazio affine

Enciclopedia della Matematica (2013)

spazio affine


spazio affine spazio caratterizzato dal gruppo delle affinità (trasformazioni affini) a esso associato. Per le caratteristiche invarianti si veda geometria affine. Dal punto di vista più formale, lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale, nella quale non sono definite alcune nozioni tipiche dello spazio euclideo, quali quella di angolo, di perpendicolarità, di distanza, mentre risultano definite le nozioni di parallelismo, rapporto tra segmenti, punto medio ecc. A differenza di quanto accade nello spazio vettoriale, nel quale tutti i sottospazi passano per l’origine del riferimento ivi definito, nello spazio affine esistono sottospazi privi di punti comuni (sottospazi paralleli) e l’origine non costituisce un punto privilegiato. In sostanza, uno spazio affine è uno spazio vettoriale dotato di traslazioni. Dal punto di vista formale, esso può essere definito assiomaticamente, per esempio nel modo che segue. Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, si dice spazio affine avente per sostegno V, un insieme A, i cui elementi si dicono punti, associato a una funzione (traslazione) ƒ: A × V A, che a ogni coppia (P, v) del prodotto cartesiano A × V associa un punto QA, denotato con Q = P + v, in modo che siano verificate le seguenti proprietà:

• per ogni punto PA e per ogni coppia di vettori u, v V vale la relazione (P + u) + v = P + (u + v);

• per ogni punto PA vale la relazione P + 0 = P, avendo indicato con 0 il vettore nullo;

• per ogni coppia di punti P, QA esiste un solo vettore vV tale che Q = P + v.

Uno spazio affine può contenere sia infiniti punti, sia un numero finito di punti. In uno spazio affine non vale la formula di Grassmann. Si dice poi spazio affine ampliato uno spazio in cui si considerino anche gli elementi all’infinito, quali i punti impropri e la retta impropria.

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