Sottogruppo

In matematica, insieme H di elementi di un gruppo G, tale che, mediante l’operazione di composizione definita in G, costituisce a sua volta un gruppo. In altre parole, H è s. di G se il ‘prodotto’ di due elementi qualunque di H, eseguito con la regola valida in G, è un elemento di H e se, insieme con un elemento a, sta in H anche il suo inverso a–1; ne segue che ogni s. di G contiene l’elemento neutro di G. Per es., rispetto al prodotto di trasformazioni, il gruppo delle traslazioni di un piano è un s. del gruppo dei movimenti; rispetto all’operazione di somma tra numeri, il gruppo dei numeri interi è s. del gruppo dei numeri razionali. Il s. invariante (o normale) di un gruppo G è un suo s. H tale che, comunque si prenda un elemento a in G, per ogni elemento h preso in H, accada che l’elemento aha–1 appartenga a H; ciò si usa spesso esprimere dicendo che l’insieme aHa–1 coincide con H. Se H è s. invariante di G, si può costruire il gruppo quoziente G/H. Esempi di s. invarianti: nel gruppo delle sostituzioni su n elementi, il gruppo alterno (➔ sostituzione). In un gruppo abeliano ogni s. è invariante.