Soluzioni deboli

Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)

soluzioni deboli

Luca Tomassini

Consideriamo un operatore differenziale lineare

formula

definito su un aperto connesso A di ℝn, dove le ak(x) sono funzioni su A sufficientemente regolari (per es. differenziabili infinite volte, ovvero C) e i simboli D(k) indicano diverse combinazioni di derivate parziali (o ordinarie nel caso di operatori su funzioni di una singola variabile). Per es., Di=∂/∂xi con xi componente i-esima del vettore x. Si dice allora soluzione debole dell’equazione differenziale Lu=f una funzione (localmente integrabile) u che soddisfi l’equazione

formula

per tutte le funzioni φ sufficientemente regolari (per esempio C) con supporto chiuso e limitato nonché contenuto in A. Il simbolo L* indica qui l’aggiunto formale dell’operatore L, definito tramite la

formula

Per es., nel caso L=∂/∂xi, la definizione precedente si riduce a un’applicazione formale della formula di Green (o della formula dell’integrazione per parti nel caso di una variabile reale)

formula

dove l’assenza di termini di bordo (definiti cioè sul bordo di A) è dovuta al fatto che per definizione φ(x)=0 per xA. Notiamo che la formula precedente può essere anche guardata come definizione del concetto di derivata della funzione generalizzata (o distribuzione) u. In altre parole, la derivata parziale generalizzata f=Diu di una distribuzione (localmente integrabile) può essere definita come come quella funzione localmente integrabile f tale che u è una soluzione debole dell’equazione f=Diu. Uno dei più importanti problemi della teoria delle equazioni differenziali (alle derivate parziali) consiste nel determinare quando una soluzione debole sia anche soluzione in senso proprio (forte). Questo equivale a dimostrare che la soluzione debole stessa, in linea di principio solo localmente integrabile e dunque potenzialmente molto irregolare, è in realtà derivabile un numero sufficiente di volte. Per es., nel caso delle equazioni cosiddette ellittiche ogni soluzione debole è anche forte.

Equazioni differenziali: problemi non lineari; Matematica: problemi aperti

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