Sistema ipotetico deduttivo

sistema ipotetico deduttivo

sistema ipotetico deduttivo locuzione con cui si indica una determinata modalità di strutturare una teoria scientifica. In un sistema ipotetico deduttivo sono assunti come ipotesi vere alcuni enunciati fondamentali detti → assiomi (per questo il sistema viene detto ipotetico) e da essi vengono logicamente dedotte tutte le altre affermazioni accettate nella teoria, dette teoremi (e per questo è deduttivo). Esempi di sistemi ipotetici deduttivi sono la geometria euclidea formalizzata secondo gli assiomi di → Hilbert e l’aritmetica formalizzata dagli assiomi di → Peano.

La nozione di sistema ipotetico deduttivo viene definita per la prima volta negli Analitici secondi di Aristotele. Secondo Aristotele una scienza deduttiva è un insieme S di enunciati tali che:

• ogni enunciato di S deve riferirsi a uno specifico insieme di enti reali (postulato di realtà);

• ogni enunciato deve essere vero (postulato di verità);

• se alcuni enunciati appartengono a S, ogni conseguenza logica di essi deve appartenere ancora a S (postulato di deduttività);

• S contiene un numero finito di termini, i cosiddetti termini primitivi, tali che: a) il significato di questi termini sia ovvio e non richieda ulteriori spiegazioni; b) ogni altro termine possa essere definito per mezzo di questi termini (postulato di evidenza per termini);

• S contiene un numero finito di enunciati, i cosiddetti assiomi, tali che: a) la loro verità sia ovvia e non richieda dimostrazioni; b) la verità di ogni altro enunciato appartenente a S sia deducibile logicamente dalla validità di questi enunciati (postulato di evidenza per enunciati).

A questa concezione di scienza deduttiva si rifà in parte la geometria così com’è presentata negli Elementi di Euclide. Nell’opera alcuni enti geometrici come la retta e il punto sono considerati come oggetti primitivi; inoltre sono assunti cinque enunciati come postulati o assiomi e da essi sono dedotti logicamente tutti i teoremi riguardanti la geometria piana. L’approccio aristotelico e quello euclideo alle teorie deduttive, considerati dal punto di vista delle moderne teorie fondazionali, presentano alcuni limiti, fra cui l’assenza di una vera e propria distinzione fra il linguaggio oggetto della teoria in esame e il metalinguaggio (cioè il linguaggio utilizzato per parlare della teoria stessa) e fra l’aspetto semantico e l’aspetto sintattico del sistema in esame. Tali limiti vennero alla luce a più riprese nel corso della storia del pensiero matematico, per esempio con la nascita delle geometrie non euclidee e con la crisi dei → fondamenti della matematica. Tali eventi hanno dato luogo a un’evoluzione del concetto di sistema ipotetico deduttivo in cui la logica formale ricopre un ruolo centrale; si pensi, per esempio, all’aritmetica formalizzata da Peano o alla teoria assiomatica degli insiemi, entrambe basate su un linguaggio logico predicativo. L’aspetto cruciale che segna una netta distinzione fra i sistemi assiomatici moderni e la concezione aristotelica risiede nella distinzione fra correttezza formale e applicabilità al reale. Un sistema assiomatico esiste come oggetto astratto e indipendente dalla realtà; pertanto l’accettabilità dei suoi enunciati si basa unicamente sulla deducibilità logica. Questa caratteristica di astrazione può rendere un sistema ipotetico svincolato da un singolo ambito di applicazione, ma capace di adattarsi alla descrizione di più aspetti della realtà, cioè di avere più modelli di interpretazione; si pensi per esempio alla teoria dei gruppi che ha fra le sue applicazioni il problema della risolubilità di un’equazione, le composizioni di trasformazioni geometriche e il calcolo combinatorio.