Serie trigonometrica

Enciclopedia della Matematica (2013)

serie trigonometrica


serie trigonometrica serie del tipo

formula

dove a0, an, bn sono numeri reali assegnati e x è reale. Se essa converge per x compreso tra −π e π essa converge per ogni x reale e la sua somma determina una funzione periodica di periodo 2π. Data una funzione periodica di periodo 2π, la serie trigonometrica qui scritta è detta serie di Fourier di ƒ se

formula

(nella prima formula il termine a0 non è compreso nella sommatoria perché così si ha un’unica formula per calcolare tutti i coefficienti an).

Se ƒ è limitata, di periodo 2π, ha solo discontinuità di prima specie e in ogni punto ha derivata destra e sinistra, la sua serie di Fourier è ovunque convergente e la sua somma è uguale a ƒ(x) nei punti di continuità ed è uguale alla media tra il limite destro e il limite sinistro nei punti di discontinuità; la convergenza è uniforme in ogni intervallo chiuso in cui ƒ è continua. Si chiama analisi armonica la decomposizione della funzione ƒ in somma di funzioni periodiche semplici (seno e coseno): il termine a1cosx + b1sinx è detto armonica fondamentale di ƒ ( Fourier, serie di).

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Punti di discontinuità

Serie di → fourier

Funzione periodica

Intervallo chiuso

Analisi armonica