Eulero, prodotto di
Enciclopedia della Matematica (2013)
Eulero, prodotto di
Eulero, prodotto di prodotto infinito esteso a tutti i numeri primi {pi}
che Eulero dimostrò essere uguale a una particolare somma di serie (identità di Eulero)
dove s è un numero reale maggiore o uguale a 1 e {pi} indica la successione dei numeri primi. Eulero se ne servì per dimostrare l’infinità dei numeri primi; infatti, se s = 1 il primo membro dell’uguaglianza rappresenta la serie armonica, che è divergente: anche il secondo membro diverge e, dovendo essere infinito il prodotto, risulta che i numeri primi sono in numero infinito. L’identità sussiste anche nel caso in cui s è un numero complesso con la parte reale maggiore di 1 e condusse B. Riemann allo studio della funzione
nota come funzione zeta di → Riemann. L’andamento della funzione zeta è quindi strettamente legato alla distribuzione dei numeri primi: pertanto, la dimostrazione della validità dell’ipotesi di → Riemann sulla distribuzione degli zeri complessi della funzione zeta avrebbe forti ripercussioni sulla possibilità di individuare forme di regolarità nella distribuzione dei numeri primi.
