Cartesio, ovale di

Enciclopedia della Matematica (2013)

Cartesio, ovale di


Cartesio, ovale di curva algebrica piana del quarto ordine ottenuta come luogo dei punti P del piano tali che le loro distanze da due punti fissi, moltiplicate per due numeri m e n dati, hanno somma costante. L’equazione si scrive

formula

essendo F1 e F2 due punti fissi, detti fuochi, e m, n, k numeri reali non nulli. Può essere considerato una generalizzazione di conica a centro proprio; infatti, se risulta m = n e k è concorde con m e n, si ha un’ellisse o un insieme vuoto di punti, se invece risulta m = −n, si ha un’iperbole o un insieme vuoto di punti. In realtà, Cartesio la studiò nel caso particolare in cui m = 1 e n = 2; in tale caso la curva assume la forma di un uovo. Se si considera il caso generale, la relazione del luogo può essere scritta come

formula

e, in un riferimento cartesiano (con i fuochi nei punti F1(1, 0) e F2(1, 0)), la sua equazione, con due successive elevazioni al quadrato, è

formula

avendo posto c = a2b2 e d = a2 + b2. Occorre osservare che il luogo dei punti le cui coordinate soddisfano l’equazione algebrica precedente, poiché è stata ottenuta con successive elevazioni al quadrato, fornisce non uno ma due ovali, l’uno interno all’altro, e non descrive quindi esattamente il luogo così come è stato definito geometricamente. Gli ovali di Cartesio sono curve anallagmatiche, ovvero invarianti per inversioni circolari ( anallagmatico).

OVALE DI CARTESIO
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