Numero ordinale

numero ordinale

numero ordinale o anche ordinale o tipo d’ordine, nell’accezione elementare, indica il posto occupato da un elemento in un insieme ordinato totalmente: primo, secondo, terzo ecc. Da un punto di vista più astratto, è la classe d’isomorfismo di un insieme bene ordinato. Dati due insiemi bene ordinati (→ ordinamento) S e T, un isomorfismo d’ordine tra S e T è una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi che ne conserva i rispettivi ordinamenti; se esiste un isomorfismo d’ordine, allora S e T sono detti isomorfi come insiemi ordinati. Ciò definisce una relazione d’equivalenza tra insiemi bene ordinati, le cui classi di equivalenza sono dette numeri ordinali. Un segmento iniziale di un insieme bene ordinato è un sottoinsieme che, contenendo un particolare elemento, contiene anche tutti i suoi predecessori. Dati due insiemi bene ordinati S e T, si scrive S ≤ T se S è isomorfo a un segmento iniziale di T. La relazione ≤ definita tra numeri ordinali è una relazione d’ordine; più precisamente essa definisce un → buon ordinamento sull’insieme dei numeri ordinali, il cui elemento iniziale è il numero ordinale dell’insieme vuoto, indicato con il simbolo 0. Per ogni numero ordinale α è definito inoltre il suo successore, indicato con α + 1, vale a dire il minimo ordinale maggiore di esso (e distinto da esso). Il numero ordinale di un insieme con un numero finito (rispettivamente: infinito, numerabile) di elementi è detto ordinale finito (rispettivamente: ordinale transfinito, ordinale numerabile). Se tra due insiemi bene ordinati è definito un isomorfismo d’ordine, allora necessariamente i due insiemi hanno la stessa → cardinalità; pertanto ogni numero ordinale α definisce a sua volta un → numero cardinale card(α), che coincide con la cardinalità di un suo qualsiasi rappresentante.

Mediante un procedimento induttivo, i numeri ordinali possono essere descritti come segue. Dopo aver posto 0 come il tipo d’ordine dell’insieme vuoto, per ogni numero ordinale α si definisce il suo successore α + 1 come l’insieme di tutti gli ordinali β ≤ α che lo precedono e sono distinti da esso: ognuno di tali insiemi è bene ordinato mediante l’ordinamento definito tra numeri ordinali, vale a dire secondo la relazione di appartenenza. Dunque, se n e k indicano due arbitrari numeri naturali, l’insieme dei numeri ordinali è così descritto ricorsivamente a partire dall’assunzione formale del simbolo 0 come elemento iniziale:

0 = ∅ (l’insieme vuoto)

primo = 1 = {0}

secondo = 2 = {0, 1}

ennesimo = n = {0, 1, ..., n − 1}

ω = {0, 1, ..., k, ...} (l’insieme di tutti gli ordinali finiti)

ω + 1 = {0, 1, ..., k, ..., ω}

ω + n = {0, 1, ..., k, ..., ω, ω + 1, ..., ω + n − 1}

2ω = {0, 1, ..., k, ..., ω, ..., ω + k, ...}

nω = {0, 1, ..., k, ..., ω, ..., 2ω, ..., 3ω, ...,

(n − 1)ω, ...}

ω₁ (l’insieme di tutti gli ordinali finiti o numerabili)

ω_n (l’insieme di tutti gli ordinali α per cui card(α) ≤ ℵ_n−1)

ω_ω (l’insieme di tutti gli ordinali α per cui card(α) ≤ ℵ_k per qualche numero naturale k)

In questo modo può essere costruita l’intera classe, bene ordinata, dei numeri ordinali:

0 ≤ 1 ≤ ... ≤ n ≤ ... ≤ ω ≤ ... ≤ ω + n ≤ ... ≤ nω ≤ ... ≤ ω₁ ≤ ... ≤ ω₂ ≤ ... ≤ ω_ω ≤ ...

All’interno di tale classe, si distinguono alcuni particolari numeri ordinali, come 0, ω, ..., ω + n, ..., nω, ..., ω₁, ..., nω₁ ..., ω₂, ..., ω_ω, ..., che non sono il successore di alcun numero ordinale: ordinali transfiniti che soddisfano tale proprietà sono detti ordinali limite. Un ordinale limite tale che ogni ordinale che lo precede determina un numero cardinale minore di esso è detto ordinale iniziale: questo è il caso di ω, ω₁, ..., ω_n, ..., ω_ω, ... Gli ordinali iniziali risultano naturalmente indicizzati dai numeri ordinali stessi.

Mentre numeri ordinali finiti distinti determinano numeri cardinali finiti distinti, in generale numeri ordinali transfiniti distinti possono determinare lo stesso numero cardinale transfinito: questo è per esempio il caso degli ordinali transfiniti ω, ω + n e nω (dove n è un arbitrario numero naturale) che hanno tutti quanti la cardinalità del numerabile ℵ₀. In generale, due numeri ordinali transfiniti hanno la stessa cardinalità se e solo se sono entrambi compresi tra due stessi ordinali iniziali ω_α e ω_α+1, eventualmente uguali al primo, ma minori del secondo (dove α indica un arbitrario numero ordinale). Pertanto si ha ℵ₀ = card(ω), ℵ₁ = card(ω₁), e più in generale ℵ_α = card(ω_α), per ogni numero ordinale α. In questo modo è possibile costruire l’intera classe dei numeri cardinali transfiniti, che può essere identificata con la classe degli ordinali iniziali e pertanto risulta naturalmente indicizzata dai numeri ordinali stessi.