Wiener, misura di

Enciclopedia della Matematica (2013)

Wiener, misura di


Wiener, misura di misura che esprime la probabilità che una particella, nel moto browniano, a dati istanti t1, t2, ..., tn si trovi all’interno di dati insiemi A1, A2, ..., An. Tale misura è definibile sullo spazio delle funzioni continue a valori reali su un intervallo chiuso [a, b], a partire da un insieme di punti arbitrari dell’intervallo, indicati con t1, t2, ..., tn, tali che 0 < t1 < t2 < ... < tn < 1 e da un insieme di sottoinsiemi boreliani A1, ..., An ( Borel, insiemi di) della retta reale. Considerato l’insieme

formula

di tutte le funzioni ƒ: [0, 1] → R tali che, per

formula

si abbia ƒ(tk) ∈ Ak, la misura di Wiener di F è così definita:

formula

dove p(t, x) è la densità di probabilità per la posizione x di una particella a un fissato tempo t e si ha:

formula
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