Lagrange, metodo dei moltiplicatori di

Lagrange, metodo dei moltiplicatori di

Lagrange, metodo dei moltiplicatori di metodo impiegato nei problemi di estremo (massimo o minimo) vincolato (o, equivalentemente, condizionato) per caratterizzare gli estremanti di una funzione di due variabili ƒ(x, y), in presenza di un vincolo del tipo g(x, y) = 0. Infatti, nei punti di estremo relativo della funzione ƒ(x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0, la funzione (detta lagrangiana) L(x, y, λ) = ƒ(x, y) + λg(x, y) ha un punto stazionario. Il parametro λ viene detto moltiplicatore di Lagrange. Si è dunque condotti al sistema

Se (x₀, y₀, λ₀) è una soluzione di questo sistema, il punto P₀(x₀, y₀) è poi di minimo (massimo) relativo vincolato se il determinante hessiano di L,

calcolato in (x₀, y₀, λ₀), risulta minore di 0 (maggiore di 0). Per esempio, i punti della circonferenza g(x, y) di equazione x ² + y ² − 25 = 0 in cui è stazionaria la funzione ƒ(x, y) = 3x + 4y si ottengono dal sistema

che ammette le soluzioni (−3, −4, 1/2) e (3, 4, −1/2). L’hessiano

vale −52 in (−3, −4, 1/2), per cui il punto A(−3, −4) è di minimo, mentre B(3, 4) è di massimo (→ matrice hessiana).

La tecnica si generalizza a una funzione di n + m variabili, ƒ(x, y), con x ∈ Rⁿ, y ∈ R^m, soggetta alle m condizioni g(x, y) = 0, con g: R^n+m → R^m. Introdotto un vettore λ costituito da m moltiplicatori, si costruisce la lagrangiana L(x, y, λ) e si impone che sia stazionaria rispetto a tutte le variabili, ottenendo un sistema di n + 2m equazioni in altrettante incognite (→ massimo vincolato).