MECCANICA NON-LINEARE

MECCANICA NON-LINEARE

NON-LINEARE Studia i fenomeni oscillatorî, di carattere meccanico, elettrico, ecc., la cui teoria può svolgersi soltanto mediante equazioni differenziali non-lineari. Ricordiamo (v. oscillazioni e vibrazioni, XXV, p. 655), come esempio semplice di sistema meccanico che compie oscillazioni libere, un punto P, mobile su una retta, soggetto ad una forza elastica proporzionale ed opposta all'ascissa x di P e ad una forza resistente −2pú proporzionale ed opposta alla velocità ú di P. Il punto P compie invece oscillazioni forzate, se alle precedenti si aggiunge un'altra forza, per es. del tipo F cos (Ωt + α), cioè funzione sinusoidale del tempo t (p, F, Ω, α, sono costanti). Scegliendo le unità di misura in modo che risultino unitarî la massa di P ed il coefficiente elastico, la x(t) verifica l'equazione differenziale lineare:

cui possono ricondursi numerosi altri sistemi meccanici od elettrici (nel quale ultimo caso x denota una corrente o una tensione). Le oscillazioni libere (F=0), o forzate (F≠0), rette dalla [1] si dicono lineari.

Lo studio teorico di molti sistemi di importanza pratica (p. es. degli oscillatori usati nelle radiocomunicazioni) porta a equazioni differenziali ottenibili da [1] sostituendovi la costante 2p con una funzione εf(x) (ε = costante positiva) della x (e, in qualche caso, anche della ú); cioè a equazioni differenziali del tipo

è questa l'equazione differenziale di Liénard, non-lineare per la presenza del termine f(x)ú, con F=0 nel caso delle oscillazioni libere, con F≠0 nel caso delle oscillazioni forzate.

Altri problemi si riconducono all'equazione differenziale non lineare

ottenuta da [1] sostituendo alla forza elastica una forza −ϕ(x) funzione generica della x. La [2], eventualmente generalizzata ponendovi f(x, ú) od anche f(x, ú, t) in luogo di f(x)ú, e la [3] sono le più importanti equazioni differenziali della m. non-lineare relativa a sistemi con un solo grado di libertà. Questi sistemi si dicono autonomi se, nelle equazioni che li reggono, non compare esplicitamente il tempo: per es., se nella [2] [con f(x)ú eventualmente sostituito da f(x, ú)], è F=0; non autonomi nel caso opposto: per es. se nella [2] è F≠0, oppure compare un termine f(x, ú, t).

Lo studio quantitativo delle [2], [3] e delle loro generalizzate può farsi con varî metodi approssimati (H. Poincaré, B. Van der Pol, N. Krylov e N. Bogoljubov, N. Minorsky, ecc.), validi per debole non-linearità, cioè per ε 〈〈 1, e quando ϕ(x) differisca di abbastanza poco da x. Lo studio qualitativo (esistenza di soluzioni periodiche, unicità, stabilità, ecc.) si fa invece, di solito, riconducendo le [2], [3] e le loro generalizzate a sistemi differenziali del primo ordine e valendosi poi di considerazioni topologiche: come, per es., la teoria di Poincaré per i sistemi di equazioni differenziali del primo ordine, utilissima nel caso particolare dei sistemi autonomi.

Enunciamo, ora, i principali risultati validi per i sistemi non-lineari rappresentati da [2] o [3].

1. Ha notevole importanza il caso in cui, nella [2], f(x) è negativa in un intorno dell'origine (cioè per piccoli valori di ∣ x ∣), positiva per x esterno a quest'intorno: tale è, per es., il caso f(x) = x² − 1, in cui la [2] si riduce alla classica equazione di Van der Pol. Ovviamente, quando f(x) è negativa, il lavoro della forza −εf(x)ú è positivo, cioè viene immessa dall'esterno energia nel sistema: si comprende, perciò, come esso possa compiere oscillazioni libere senza smorzamento. Facendo qualche altra ipotesi qualitativa sulla f(x), si perviene, quando è F = 0, ai seguenti risultati: a) La posizione di equilibrio del sistema (soluzione x ⊄ 0 della [2]) è instabile e pertanto non è assunta, in pratica, dal sistema; b) Le altre soluzioni di [2] sono sempre oscillatorie intorno all'origine (a differenza del caso lineare [1], nel quale sono tali soltanto se è p 〈 1) e tendono asintoticamente ad un'unica soluzione periodica stabile. In altre parole, il sistema retto dalla [2] compie, praticamente, dopo un intervallo di tempo transitorio, oscillazioni periodiche. Va rilevato però che, a differenza del caso lineare, tali oscillazioni non dipendono dalle condizioni iniziali. Nel piano (x, ú), cioè nel piano delle fasi, detta soluzione periodica è rappresentata da una curva chiusa C (ciclo limite stabile, secondo Poincaré), che circonda l'origine e alla quale tendono tutte le altre curve che rappresentano soluzioni di [2] con (F = 0). Se ε 〈〈 1, la soluzione periodica è sensibilmente sinusoidale, con periodo prossimo a 2π; l'ampiezza, nel caso di Van der Pol, vale 2. Se è invece ε 〉〉 1, come è stato riconosciuto dallo stesso Van der Pol la soluzione periodica della sua equazione (di tipo [2]) ha periodo 1,614 ε e si identifica con l'ascissa x di un punto P che si muova percorrendo due segmenti MN, M′N′, simmetrici rispetto all'origine O (OM > ON, O esterno ad MN) nel seguente modo: partito da M il punto P percorre MN, giunto in N "salta" bruscamente in M′; indi percorre M′N′, salta in M, e così di seguito (nel diagramma in figura è indicato anche un periodo transitorio). Le oscillazioni di questo tipo, che sono, in sostanza, una successione periodica di fenomeni aperiodici, si dicono "di rilassamento" e si osservano in molti fenomeni fisici: tale è, per es., l'andamento della corrente assorbita da una lampada al neon convenientemente alimentata. Il caso di f(x) positiva per piccoli e grandi valori di x, negativa per valori intermedî, è stato studiato, più in particolare, per ε 〈〈 1. Si dimostra, sotto qualche altra ipotesi per f(x), che la posizione di equilibrio x ⊄ 0 è stabile e che esistono, nel piano delle fasi, più cicli limite C₁, C₂, C₃,... C_n, C₁ interno a C₂, C₂ a C₃, ecc., tutti circondanti l'origine, alternativamente stabili e instabili, e precisamente, stabili quelli d'indice pari, instabili gli altri. Se il punto le cui coordinate sono i valori iniziali di x, ú è interno a C₁, la x tende a zero, cioè il sistema tende alla posizione di equilibrio; se è compreso fra C_r-1 e C_r+1 con r pari, quindi certamente esterno a C₁, il sistema compie, dopo un certo periodo transitorio, l'oscillazione periodica rappresentata da C_r: si ha allora la cosiddetta eccitazione dura ("hard operating conditions").

Tornando alle primitive ipotesi per la f(x) e supposto ora F ≠ 0, lo studio dell'equazione differenziale [2] permette di giustificare i seguenti risultati sperimentali: a) sincronizzazione: se la differenza fra il periodo T = 2π/Ω del termine forzante ed il periodo T₀, prossimo a 2π, delle oscillazioni libere è inferiore a un certo limite (crescente con F), il sistema oscilla con periodo T e ampiezza poco diversa da quella delle oscillazioni libere; b) demoltiplicazione di frequenza: se nT (n intero) è prossimo a T₀, il sistema oscilla con periodo nT.

Nell'ipotesi che sia f (x) > 0 oppure f(x) sostituita con a∣ú∣(a > 0: resistenza idraulica), il comportamento di x non differisce qualitativamente dal caso lineare.

2. Un'equazione del tipo [3] di particolare interesse nella meccanica non-lineare si ha ponendo F=0, ϕ(x) = K sen x − L (K, L costanti): si ha così l'equazione generalizzata del pendolo, molto importante in elettrotecnica (per es. per i motori sincroni). Se, invece, è: F ≠ 0, ϕ(x) = x + βx³ [−ϕ(x) è la forza esercitata da una molla di elasticità rispettivamente dura (hard) o molle (soft) a seconda che β è positivo o negativo], e si suppone β sufficientemente piccolo, si dimostra che, a differenza del caso lineare, la frequenza di risonanza varia con F, crescendo se è β > 0, decrescendo se è β 〈 0. Inoltre, in corrispondenza degli stessi valori di F ed Ω, possono esistere più soluzioni periodiche, per es. almeno due che indicheremo qui con u, v. E può verificarsi che, per Ω compreso in un certo intervallo (Ω₁, Ω₂), u e v siano entrambe stabili; e che per Ω > Ω₂ una delle due soluzioni, per es. u, diventi instabile o cessi di esistere. Allora, sia per es. il valore iniziale Ω₀ di Ω compreso fra Ω₁ ed Ω₂, e il sistema oscillerà secondo la u; variando Ω fino a superare Ω₂, il sistema passerà bruscamente ad oscillare secondo la v (fenomeno di "jump"). Se poi Ω decresce fino a riassumere il valore Ω₀, il sistema continuerà ad oscillare secondo v e non secondo u (isteresi oscillatoria). Fenomeni di "jump" e di isteresi oscillatoria possono presentarsi anche in sistemi retti dalla [2] e in sistemi a due gradi di libertà, cioè retti da due equazioni del tipo [2] o [3].

Fenomeni non-lineari si presentano anche in biologia (teoria di Volterra delle fluttuazioni biologiche).

Bibl.: La m. non-lineare è stata iniziata dall'olandese B. Van der Pol in alcune memorie pubblicate nel decennio 1920-30 e riassunte con ampia bibliografia nella Nota The non-linear theory of electric oscillations, in Proceedings Institute Radio Engineers, XXII (1934), p. 1051. Notevoli sono i seguenti trattati che contengono ampî riferimenti bibliografici ai lavori originali: N. Minorsky, Non-linear mechanics, Ann Arbor 1947; J. J. Stoker, Non-linear mechanics, New York 1950; G. Sansone e R. Conti, Equazioni differenziali non-lineari, Roma 1956; H. Kauderer, Nichtlinear Mechanik, Berlino-Gottinga 1958; L. Cesari, Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential equations, Berlino 1959 (il III cap. è principalmente dedicato alla meccanica non-lineare).