Limite centrale, teorema del

limite centrale, teorema del

limite centrale, teorema del in statistica e probabilità, stabilisce, sotto certe condizioni, la convergenza alla variabile normale standardizzata della somma di variabili aleatorie di qualunque tipo. Insieme alla legge dei → grandi numeri rappresenta uno dei teoremi fondamentali della teoria della probabilità. Formalmente:

• sono date n variabili aleatorie X_i tra loro indipendenti con identica distribuzione di probabilità (e quindi con uguali e finiti la media μ e lo scarto quadratico medio σ);

• si considera la variabile aleatoria S_n costituita dalla somma di tali n variabili; tale variabile aleatoria ha media nμ e scarto quadratico medio σ√(n);

• si standardizza la variabile aleatoria S_n:

Sotto tali condizioni, il teorema afferma che al tendere di n all’infinito, la variabile standardizzata

tende ad avere una → distribuzione normale. L’importanza del teorema, dovuto a P.-S. de Laplace, ma per casi particolari già anticipato da A. de Moivre, risiede nel fatto che permette di affermare che, qualunque siano le modalità e le cause di un particolare fenomeno, e comunque siano distribuite le probabilità individuali, quando si considera un insieme piuttosto numeroso di individui, la variabile in esame tende a essere distribuita in modo normale. Ciò consente, quando il valore di μ sia ignoto, di utilizzare la distribuzione normale per verificare ipotesi su di esso formulate.

La distribuzione normale può essere anche considerata il limite della → distribuzione binomiale con probabilità uguale a 1/2 quando il numero delle prove (che possono essere considerate variabili aleatorie tra loro indipendenti) tende all’infinito. Nella realtà n non può mai essere infinito, tuttavia la distribuzione normale approssima altre distribuzioni già per valori di n > 30.