Simmetria, gruppo di

simmetria, gruppo di

simmetria, gruppo di (di una figura) in geometria, gruppo costituito dalle isometrie che fanno corrispondere una figura (considerata nel suo complesso) a sé stessa. Nel piano, per esempio, la simmetria di un triangolo isoscele non equilatero rispetto all’asse del lato disuguale non muta la figura nel suo complesso anche se scambia i punti che sono in un semipiano rispetto all’asse in quelli corrispondenti nel semipiano complementare (i due lati obliqui si scambiano tra loro). Il gruppo delle isometrie di un triangolo equilatero è formato da sei elementi: l’identità, le tre simmetrie rispetto ai suoi assi, e due rotazioni, rispettivamente di 120° e 240° attorno al suo centro (il centro della circonferenza a esso circoscritta). Tale gruppo è isomorfo al → gruppo simmetrico S₃. Le due rotazioni e l’identità (che può essere vista come una rotazione di 0° o di 360°) costituiscono un sottogruppo di tale gruppo isomorfo al → gruppo alterno A₃. Per un quadrato, il gruppo di simmetria è composto da otto elementi: quattro simmetrie (due rispetto agli assi dei lati e due rispetto alle diagonali), l’identità e tre rotazioni, rispettivamente di 90°, 180°, 270°; anche in questo caso le rotazioni (tra cui vi è l’identità) ne costituiscono un sottogruppo. In generale, il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare di n elementi è detto → gruppo diedrale e ha 2n elementi.

Nello spazio tridimensionale si considerano le isometrie che fanno corrispondere un poliedro (considerato nel suo complesso) a sé stesso: esse costituiscono il gruppo di simmetria del poliedro. I gruppi notevoli che si considerano riguardano i solidi platonici (cui si rimanda per il dettaglio delle isometrie coinvolte):

• il gruppo di simmetria del tetraedro, costituito da 24 elementi e isomorfo al gruppo simmetrico S₄; il suo sottogruppo, formato dalle 12 rotazioni, è detto gruppo tetraedrale;

• il gruppo di simmetria del cubo, costituito da 48 elementi che, in base al principio di dualità dei poliedri (→ poliedro duale) è lo stesso dell’ottaedro regolare, da cui il nome di gruppo di simmetria dell’ottaedro con cui è anche designato; contiene il sottogruppo formato dalle rotazioni, costituito da 24 elementi e detto gruppo ottaedrale;

• il gruppo di simmetria del dodecaedro, costituito da 120 elementi che, in base al principio di dualità dei poliedri, è lo stesso del gruppo di simmetria dell’icosaedro; contiene il sottogruppo formato dalle rotazioni, costituito da 60 elementi e detto gruppo icosaedrale.

I solidi di rotazione classici (cilindro circolare finito retto e cono circolare finito retto) hanno un gruppo di simmetria infinito costituito dalle rotazioni attorno al proprio asse, inclusa l’identità.

Per la sfera il gruppo di simmetria è il gruppo ortogonale reale (→ gruppi classici).