Gruppo di gauge

gruppo di gauge

Le teorie di gauge costituiscono una delle principali aree di ricerca tanto in matematica quanto in fisica teorica. Da un punto di vista matematico l’oggetto di partenza è un fibrato principale {P,M,G} su una varietà (semi-riemanniana) M con gruppo di struttura G e spazio totale P, approssimativamente una varietà costruita ‘attaccando’ a ogni punto della varietà M una copia di G. Un potenziale di gauge è allora una connessione su P e a essa è associato un tensore di curvatura. Se tale connessione soddisfa una condizione di armonicità (l’equazione di Yang-Mills), essa è detta campo di Yang-Mills o di gauge. Una trasformazione di gauge è allora un automorfismo di P (trasformazione di P in sé stesso) che lasci invariante ogni punto della varietà M. Questi automorfismi sono dotati di una struttura di gruppo e con essa formano il gruppo delle trasformazioni di gauge. Il gruppo (di struttura) G di P è detto gruppo di gauge. Furono proprio Chen Ning Yang e Robert L. Mills nel 1954 a suggerire che lo spazio dei gradi di libertà intrinseci delle particelle elementari (carica, colore ecc.) e dunque anche le sue trasformazioni possano dipendere dalla posizione nello spazio-tempo: in termini matematici, il fibrato P non è banale e i campi di interesse fisico sono ­sezioni di P. Se effettivamente la trasformazione di gauge varia con la posizione in M essa è detta di seconda specie, di prima altrimenti. I campi di Yang-Mills (o le particelle elementari associate) sono così utilizzati nella teoria quantistica relativistica ­(teoria dei campi) per descrivere le interazioni: il campo elettromagnetico in elettrodinamica (interazione tra particelle dotate di carica elettrica), quello dei bosoni vettori W (interazione debole nella teoria di Weinberg-Salam) e infine quello dei gluoni (interazione forte tra quark). Anche il campo gravitazionale può essere interpretato come campo di Yang-Mills. In tutti questi casi la varietà M è lo spazio tempo di Minkowski; i rispettivi gruppi di gauge sono U(1), SU(2) e SU(3), unificati nel Modello Standard nel gruppo

U(1)×SU(2)×SU(3).

Esistono relazioni profonde tra topologia e teorie di gauge, tra le quali spicca la scoperta di strutture esotiche su ℝ⁴ da parte di Simon Donaldson e Michael Friedman.

→ Matematica: problemi aperti