Gruppo abeliano

gruppo abeliano

gruppo abeliano gruppo la cui operazione gode della proprietà commutativa. Prende il nome dal matematico norvegese N. H. Abel ed è anche detto gruppo commutativo (→ gruppo). Il gruppo Z(+) dei numeri interi con l’operazione di addizione è un esempio di gruppo abeliano. Un esempio di gruppo non abeliano in generale è invece il gruppo simmetrico S_n delle sostituzioni su n elementi.

Carattere di un gruppo abeliano finito

Dato un gruppo G(+) abeliano e finito, è ogni morfismo di G nel gruppo moltiplicativo dei complessi C₀(⋅). Se g₁, ..., g_n sono gli elementi di G, è ogni funzione ƒ a valori complessi tale che ƒ(g_i) ≠ 0 e ƒ(g_i + g_j) = ƒ(g_i) ⋅ ƒ(g_j) per ogni i, j = 1, …, n. Se e è l’elemento neutro del gruppo, ƒ(e) = 1 e, di conseguenza, i valori di ƒ(g_i) costituiscono il gruppo delle → radici ennesime dell’unità.