Omologia, gruppi di

omologia, gruppi di

omologia, gruppi di in topologia algebrica, sequenza di gruppi abeliani, solitamente denotati con H_n(C) (un gruppo per ogni numero intero n), che si associa a un qualsiasi complesso di catene C. I gruppi di omologia sono oggetti algebrici fondamentali in topologia perché forniscono degli invarianti omotopici (→ omotopia) e quindi degli invarianti topologici che, in alcuni casi, risultano essere i più semplici da utilizzare per mostrare che due spazi topologici non sono topologicamente equivalenti. Dato un complesso di catene C = ... → C_n+1 → C_n → C_n−1 → ..., dove le frecce indicano dei morfismi bordo ∂_n (con n intero), il gruppo dei cicli di dimensione n e il gruppo dei bordi di dimensione n sono, rispettivamente, il nucleo del morfismo ∂_n e l’immagine del morfismo ∂_n+1 e vengono solitamente denotati con Z_n(C) e B_n(C). Entrambi sono sottogruppi di C_n e, dal momento che la composizione ∂_n ○ ∂_n+1 è il morfismo nullo, B_n(C) è un sottogruppo di Z_n(C). L’ennesimo gruppo di omologia H_n(C) del complesso C è il gruppo quoziente H_n(C) = Z_n(C)/B_n(C). È comune usare il termine omologia di dimensione i al posto di i-esimo gruppo di omologia. Esempi di gruppi di omologia sono i gruppi di omologia simpliciale che vengono associati a un qualsiasi complesso simpliciale C_X e, quindi, allo spazio topologico X di cui C_X fornisce una triangolazione (→ spazio topologico, triangolazione di uno). Storicamente essi sono stati alla base dello sviluppo dei metodi omologici. La loro definizione si ottiene attraverso il concetto di complesso delle catene simpliciali ... →C_n+1 →C_n →C_n−1 → ... di un complesso simpliciale C. Il gruppo C_n delle catene simpliciali orientate di dimensione n è il gruppo delle combinazioni lineari a coefficienti interi (o, più in generale, a coefficienti in un qualsiasi anello) dei simplessi euclidei orientati di dimensione n di C, con l’identificazione σ = −σ′ se σ e σ′ sono lo stesso simplesso con orientazione opposta. Il morfismo bordo ∂_n è l’unico morfismo definito su un n-simplesso orientato σ nel seguente modo: denotato con [v₀, v₁, v₂, ..., v_n] il simplesso σ con orientazione v₀ < v₁ < v₂ < ... < v_n dei suoi vertici, il bordo di σ è la catena simpliciale

(in cui v̂_i significa che v_i non appare).

La composizione ∂_n ○ ∂_n+1 è il morfismo nullo. I gruppi di omologia simpliciale del complesso simpliciale C sono i gruppi di omologia del complesso delle catene simpliciali di C. Essi costituiscono degli invarianti omotopici: dati due spazi topologici X e Y omotopicamente equivalenti e due qualsiasi complessi simpliciali C_X e C_Y che forniscono una triangolazione, rispettivamente, di X e Y, i gruppi di omologia simpliciale di C_X e di C_Y sono isomorfi per ogni n. I gruppi di omologia simpliciale di uno spazio topologico triangolabile X sono strettamente correlati ai gruppi di coomologia simpliciale di X, che sono ottenuti attraverso un processo di dualizzazione applicato al complesso delle catene simpliciali (→ coomologia, gruppi di). I gruppi di coomologia simpliciale sono determinati dai gruppi di omologia simpliciale e viceversa; conoscere gli uni è dunque equivalente a conoscere gli altri e le proprietà intrinseche di uno spazio topologico X deducibili dai suoi gruppi di omologia simpliciale coincidono con quelle deducibili dai suoi gruppi di coomologia simpliciale. Per la sfera (di dimensione 2) gli unici gruppi di omologia simpliciale non banali sono H₀ = Z e H₂ = Z; per la circonferenza, il cilindro, il nastro di Möbius sono H₀ = Z e H₁ = Z; per la bottiglia di Klein sono H₀ = Z e H₁ = Z ⊕ Z₂ (dove il simbolo ⊕ indica la somma diretta); per il toro sono H₀ = Z, H₁ = Z ⊕ Z e H₂ = Z. Il simbolo di uguaglianza qui utilizzato indica più precisamente la relazione di isomorfismo tra gruppi.