Funzione inversa

Enciclopedia della Matematica (2017)

funzione inversa


funzione inversa di una funzione iniettiva ƒ: X Y, è la funzione, indicata con ƒ−1: Y X, tale che x = ƒ−1(y) se e solo se y = ƒ(x). Una funzione per la quale è definibile l’inversa è detta invertibile. Se la funzione ƒ, iniettiva, è anche suriettiva, i due insiemi X e Y sono in corrispondenza biunivoca. Se oltre ƒ anche g: Y Z è una funzione invertibile, con inversa g−1: Z Y, allora la funzione composta h = gƒ: X Z definita da z = h(x) = g(ƒ(x)) è pure invertibile, e risulta h−1 = ƒ−1g−1, cioè x = ƒ−1 (g−1(z)). Si noti che la funzione composta ƒ−1(ƒ(x)) = x è la funzione identità in X, mentre ƒ(ƒ−1(y)) = y è la funzione identità in Y.

Un caso particolarmente importante è quello in cui X e Y sono sottoinsiemi di R. Le due equazioni y = ƒ(x) e x = ƒ−1(y) ammettono le stesse soluzioni, e dunque la stessa rappresentazione grafica nel piano cartesiano R2; tuttavia, se si vuole utilizzare l’asse delle ascisse per rappresentare la variabile indipendente e quello delle ordinate per la variabile dipendente, la funzione inversa di ƒ deve essere scritta nella forma y = g(x) (con g = ƒ−1) e il suo grafico si ottiene da quello di y = ƒ(x) con la simmetria di asse la bisettrice del primo e terzo quadrante.

Si noti che le funzioni e le loro inverse sono leggi di corrispondenza e in quanto tali sono indipendenti dalle lettere che si utilizzano per rappresentarle. Nei casi più comuni la funzione inversa assume un nome e un simbolo particolare, per evitare la notazione ƒ−1 che potrebbe essere confusa con la notazione del reciproco della funzione (il reciproco deve invece essere indicato con (ƒ(x))−1 oppure con 1/ƒ(x)). Per esempio, data la funzione esponenziale y = ex, risulta X = R, Y = R+; la funzione inversa, che è la funzione logaritmo, x = lny, è definita in R+ e ha come codominio R. Risulta inoltre ln(ex) = x, ∀xR, mentre elny = y, ∀yR+.

Una condizione sufficiente per l’invertibilità di funzioni ƒ: R → R è la loro stretta monotonia: se ƒ è strettamente crescente (o decrescente), infatti, è garantita l’iniettività della corrispondenza. Tale ipotesi non è di per sé necessaria, come mostra l’esempio della funzione così definita per casi:

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La funzione ƒ così definita non è monotòna in nessun intervallo, tuttavia è invertibile, e ƒ−1 = ƒ. Anche la funzione y = 1/x, con X = Y = R{0} (cioè di dominio e codominio l’insieme dei reali con esclusione di 0, a volte indicato anche con R0) è invertibile pur senza essere globalmente monotòna, anche se lo sono le sue restrizioni a R e R+.

Se tuttavia ci si restringe allo studio di funzioni continue in un intervallo, la stretta monotonia diviene anche condizione necessaria per la biunivocità della corrispondenza. La funzione inversa è allora anch’essa continua e strettamente monotòna. Nel caso di funzioni continue non monotòne, la invertibilità si può ottenere solo mediante una opportuna restrizione del dominio della funzione. Per esempio, la funzione y = x 2 non è monotòna su tutto R, e quindi non è invertibile. Lo è invece se si restringe il dominio a [0, +∞), nel qual caso la funzione inversa è x = √(y).

Anche in (‒∞, 0] è possibile invertire la funzione, ottenendo x = − √(y).

Il caso in cui ƒ non è iniettiva dà luogo a una relazione inversa, che prende il nome di funzione solo in casi particolari ( funzione polidroma).

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Corrispondenza biunivoca

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