Fibrato

Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)

fibrato

Luca Tomassini

Siano dati gli spazi topologici B (detto spazio totale), X (detto base) e F (detto fibra tipica), insieme con una applicazione continua e suriettiva τ:BX dotata delle seguenti proprietà: ogni xX possiede un intorno Uα tale che esiste un omeomorfismo φα: τ−1(Uα)⊂BUα×FX×F per il quale τ=τ(°φα. Con τ(:X×FX indichiamo qui il proiettore sul primo fattore del prodotto cartesiano tra X e F definito da τ((x,a)=x, xX e aF. In altri termini, si può considerare un fibrato {B,X,F,τ} come una copia dello spazio base X cui si sia attaccata in ogni punto una copia della fibra tipica F. Non a caso, il più semplice esempio di fibrato con base X e fibra tipica F è il prodotto cartesiano B=X×F, con τ(x,a)=x. {B,X,F,τ} è detto in questo caso fibrato banale (o triviale). Come si vede dalla definizione, nel caso generale la richiesta di esistenza di banalizzazioni è locale e cioè ristretta ai singoli intorni Uα: le mappe φα sono dette infatti banalizzazioni locali e ogni fibrato è dunque localmente banale. Naturalmente abbiamo F=τ−1(x), per ogni xX. La natura della fibra tipica F determina, per così dire, quella del fibrato stesso. Per es., se essa è uno spazio vettoriale si parlerà di fibrato vettoriale, se è un gruppo (che agisce su sé stesso per traslazione a sinistra) di fibrato principale. Di fondamentale importanza nello studio dei fibrati è la nozione di sezione. Si tratta di una mappa Φ:XB tale che τ(Φ(x))=x per ogni xX. Una sezione mappa dunque un punto della spazio di base nella fibra sopra di esso. È allora possibile estrarre numerose informazioni sulla natura di un fibrato {B,X,F,τ} dallo spazio Γ(B) di tutte le sue sezioni. La nozione di fibrato ha origine nell’opera di Ethan Stiefel prima e Hassler Whitney poi: il primo introdusse particolari invarianti per diffeomorfismi di varietà differenziabili considerando un campo di un numero finito di vettori indipendenti associato a ogni punto delle varietà stesse (un fibrato vettoriale, dunque), il secondo sistematizzò il trattamento matematico di questi oggetti.

Geometria non commutativa

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