Doppia implicazione

Enciclopedia della Matematica (2013)

doppia implicazione


doppia implicazione o bicondizionale, connettivo logico denotato con il simbolo ⇔. Dati due enunciati A e B, l’enunciato A B (si legge «A se e solo se B») si definisce come la congiunzione di due implicazioni; equivale cioè alla congiunzione dell’enunciato A ⇒ B e del suo inverso BA, ovvero a (A B) ∧ (BA) o, in altri termini, alla coppia di affermazioni «da A discende B e da B discende A». Per esempio, si considerino le due proposizioni seguenti:

P: «a è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e b, c sono i cateti».

Q: «il quadrato costruito su a ha area uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti su b e su c». Per il teorema di Pitagora e il suo inverso, le due proposizioni precedenti sono equivalenti, cioè:

P implica Q (in simboli P Q) cioè «se a è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e b, c sono i cateti, allora l’area del quadrato costruito su a è la somma delle aree dei quadrati costruiti su b e su c»;

Q implica P (in simboli Q P) cioè «se il quadrato costruito su a ha area uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti su b e su c allora a è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e b, c sono i cateti».

Queste due condizioni sono riassunte dall’unica formula P Q che corrisponde alla proposizione «P se e solo se Q» (talvolta abbreviata nelle pubblicazioni specialistiche in lingua italiana con sse, in lingua inglese con iff).

A volte per tradurre la doppia implicazione fra due enunciati (A B) si usa anche la dicitura «A è condizione necessaria e sufficiente per B»; in questa duplice espressione la parte «A è condizione necessaria per B» corrisponde all’implicazione (BA) mentre la parte «A è condizione sufficiente per B» corrisponde all’implicazione (AB).

L’enunciato A B è vero nel caso in cui A e B hanno lo stesso valore di verità, mentre è falso negli altri casi come espresso dalla sua tavola di verità:

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