Asintotica, distribuzione

asintotica, distribuzione

Distribuzione di probabilità che corrisponde al limite verso il quale tende la distribuzione di una successione di variabili casuali (➔ variabile).

Una successione di variabili casuali X₁,X₂,...,X_n,... è una sequenza infinita di variabili casuali, ciascuna definita dalla sua funzione di distribuzione, F₁, F₂,...,F_n,... Si dice che la successione X_n ha una distribuzione a. se la successione F₁,F₂,...,F_n,... di funzioni di distribuzione tende a una funzione di distribuzione F per tutti i punti in cui F è continua. La distribuzione limite o legge F può essere degenere o non degenere. Nel primo caso, la massa di probabilità è tutta concentrata in un unico valore x₀. Si dice, in questo caso, che  X_n tende in probabilità a x₀. Nel secondo caso, la legge F può essere continua o discreta, e la serie {X_n} converge in distribuzione a una variabile aleatoria X, di legge F.

Il concetto di distribuzione a. è particolarmente importante in statistica, poiché la conoscenza della distribuzione limite di uno stimatore (➔) permette di conoscerne le proprietà statistiche per grandi campioni e quindi di approssimarne le proprietà in campioni finiti. Permette, per es., di sapere se uno stimatore sia consistente per un particolare parametro, o di conoscerne approssimativamente la varianza, oppure di calcolare regioni di confidenza e di rifiuto, e quindi di sottoporre a verifica un’ipotesi statistica, con una precisione che è tanto maggiore quanto più grande è la dimensione del campione. Gli stimatori più utilizzati in statistica sono, in prevalenza, asintoticamente normali, ossia la loro distribuzione di probabilità è ben approssimata da una distribuzione normale (➔ gaussiana, distribuzione) quando la dimensione campionaria è abbastanza elevata. Più precisamente, si dice che uno stimatore θ_n di un parametro θ è asintoticamente normale se √1n (θ_n−θ) è una successione di variabili casuali, la cui distribuzione è ben approssimata da una legge normale a media 0 e varianza σ₂ (dipendente dallo stimatore). Ciò equivale a dire che la varianza di θ_n è approssimativamente uguale a σ²/n.

Il valore √1n è la velocità di convergenza di θ_n. La velocità di convergenza è √1n per la maggior parte degli stimatori più comuni. Soddisfano questa proprietà, sotto condizioni piuttosto generali, lo stimatore dei minimi quadrati (➔ minimi quadrati, metodo dei) o lo stimatore di massima verosimiglianza (➔). Ci sono casi, tuttavia, in cui uno stimatore, pur essendo asintoticamente distribuito secondo una legge normale, ha una velocità di convergenza inferiore o superiore a √1n. La velocità di convergenza di stimatori non parametrici di tipo kernel (➔ Kernel density), per es., è generalmente inferiore a √1n. Al contrario, la velocità di convergenza dello stimatore con i Minimi Quadrati Ordinari (MQO) del coefficiente di regressione, in un modello AR(1) (➔ autoregressivo, modello) a radice unitaria, in cui il coefficiente di regressione è uguale a 1, è pari a n. Nonostante esso rappresenti il caso più importante in statistica, non tutti gli stimatori hanno distribuzione a. gaussiana. Un esempio di particolare rilevanza è dato dalla successione definita dal valore più grande (o più piccolo) in un campione di osservazioni: x_(n) = max (x₁,...,x_n). Tale successione ha una distribuzione a. che deve necessariamente appartenere a una di 3 famiglie di distribuzioni – Weibull, Fréchet o Gumbel – nessuna delle quali comprende la normale come caso particolare.