Contrazione

contrazione

contrazione trasformazione ƒ di un sottoinsieme di uno spazio metrico in sé che riduce le distanze. Se E è un sottoinsieme di uno spazio metrico X, con distanza d, una contrazione in E è una trasformazione ƒ di E in sé tale che d(ƒ(x), ƒ(y)) ≤ kd(x, y), con k < 1. La trasformazione, quindi, riduce le distanze. Un fondamentale risultato, detto teorema delle contrazioni o teorema di → Banach-Caccioppoli, assicura che se E è chiuso e X è completo ogni contrazione ƒ: E → E ammette uno e un solo punto fisso, assicura cioè che esiste una e una sola soluzione dell’equazione x = ƒ(x). Tale punto si ottiene come limite della successione ottenuta dalla ricorrenza x_n+1 = ƒ(x_n), a partire da qualsivoglia x₀ ∈ E.