Ciclotomia

Enciclopedia della Matematica (2013)

ciclotomia


ciclotomia problema classico della geometria che consiste nella divisione di una circonferenza in n archi della stessa ampiezza, con l’uso di riga e compasso. Il problema, che equivale a quello di costruire, sempre con riga e compasso, un poligono regolare di n lati, era stato posto nell’antica Grecia e già per n = 7 non se ne conosceva la soluzione. Solo nel xix secolo K.F. Gauss risolse il problema in generale dimostrando che la ciclotomia con riga e compasso è possibile se e solo se n è un numero del tipo 2m · p1 · ... · ps, dove p1, ..., ps sono 1 oppure numeri di Fermat primi e distinti tra loro. Identificando il piano con il piano di Argand-Gauss, si consideri l’equazione xn − 1 = 0 nell’insieme dei numeri complessi: si ha che gli angoli sottesi alle soluzioni del problema coincidono con gli argomenti delle n radici n-esime dell’unità. Questa corrispondenza è facilmente esprimibile per mezzo dell’esponenziale complesso, secondo cui l’angolo θ corrisponde al numero complesso ei θ. Un polinomio irriducibile che, per un opportuno numero naturale n, divida il polinomio xn − 1 è detto un polinomio ciclotomico. Detto altrimenti, un polinomio ciclotomico è il polinomio minimo sul campo Q dei numeri razionali del numero complesso associato, nel modo descritto, a un angolo che risolve, per un opportuno n, il problema di ciclotomia.

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Radici n-esime dell’unità

Piano di → argand-gauss

Polinomio irriducibile

Esponenziale complesso

Polinomio ciclotomico