Algebra esterna

Enciclopedia della Matematica (2013)

algebra esterna


algebra esterna o algebra di Grassmann, in geometria algebrica o in geometria differenziale, l’algebra esterna di uno spazio vettoriale V* su un campo K è l’algebra associativa unitaria Λ(V*) generata da V* modulo le relazioni {v2 = 0, ∀vV*}, vale a dire come il quoziente dell’algebra tensoriale T(V*) rispetto all’ideale I generato dall’insieme {vv; ∀v V*}, dove con il simbolo ⊗ viene indicato il prodotto tensoriale. Le algebre esterne, che rientrano nell’ambito più generale delle algebre di Clifford, costituiscono il contesto algebrico più appropriato in cui considerare la nozione di forma differenziale.

In modo più costruttivo, ma sostanzialmente equivalente, si può definire un’algebra esterna a partire da uno spazio vettoriale V* di dimensione n su un campo K (dove K è il campo R dei numeri reali o quello C dei numeri complessi, o più in generale un qualsiasi campo di caratteristica 0) e dal suo spazio duale V**. Si considera il sottospazio vettoriale ΛV*rV*(V**) ⊆ T(V**) degli r-tensori alterni su V*, cioè dei tensori che:

• costituiscono un’applicazione

formula

• sono r-lineari, sono cioè lineari in ognuna delle loro r-componenti;

• sono alterni, tali cioè che, comunque si scelgano una permutazione σ dell’insieme {1, 2, …, r} e r vettori

v1, v2, …, vr di V*, vale

formula

dove sgn(σ) è il segno di σ.

L’esempio fondamentale di n-tensore alterno è il determinante, visto come applicazione

formula

dove gli n argomenti sono considerati come le colonne di una matrice n × n; ogni altro n-tensore alterno è un multiplo del determinante. Se r > n, allora non esistono r-tensori alterni; gli 1-tensori alterni coincidono invece con le applicazioni lineari: Λ1(V**) =V**. Si pone infine per definizione Λ0(V**) =K. Sia Λ(V**) il sottospazio dell’algebra tensoriale T(V*) somma diretta dei sottospazi ΛV*rV*(V**) al variare di r tra 0 e n:

formula

Il prodotto tensoriale di tensori alterni non è alterno; tuttavia è possibile definire a partire dal prodotto tensoriale un prodotto (indicato con il simbolo ∧ e detto prodotto esterno o prodotto wedge) tra tensori alterni come segue. Se φ è un r-tensore, sia Alt(φ) l’r-tensore alterno definito come segue:

formula

dove Sr indica l’insieme delle permutazioni dell’insieme {1, 2, ..., r}, r! è il fattoriale di r e, se σ ∈ Sr, il simbolo φσ indica l’r-tensore definito come segue:

formula

Nel caso in cui φ è un tensore alterno, allora Alt(φ) = φ: si ottiene pertanto un’applicazione lineare Alt: T(V**) Λ(V**) che preserva il grado dei tensori e che è l’identità ristretta al sottospazio dei tensori alterni. Si definisce dunque il prodotto esterno di due tensori alterni ξ e ω (rispettivamente di grado r e di grado s) come l’(r + s)-tensore alterno ξ ∧ ωAlt(ξ ⊗ ω).

Il prodotto esterno di tensori alterni così definito è associativo e bilineare; inoltre esso è antisimmetrico, nel senso che vale ξ ∧ ω{{{1}}}(−1)V*rsV*ω ∧ ξ.

Dotato del prodotto esterno, lo spazio vettoriale Λ(V**) acquisisce la struttura di algebra associativa unitaria e, con tale struttura, esso è l’algebra esterna di V**.

Se {φ1, φ2, ..., φn} è una base di V**, allora una base di Λ(V*) è costituita dai vettori

formula

in particolare si ottiene che, se r n, la dimensione degli spazi vettoriali ΛV*rV*(V*) è la seguente:

formula

Una volta che Λ(V*) è dotato della struttura di algebra con il prodotto ∧, il tensore determinante acquisisce un ruolo fondamentale; ogni tensore alterno è infatti esprimibile per mezzo di esso secondo la seguente formula: se ψ1, ..., ψr sono elementi di V* = Λ1(V*) (con r n), allora

formula

Poiché il nucleo dell’applicazione Alt coincide con l’ideale I rispetto al quale è stata costruita l’algebra tensoriale quoziente T(V*)/I considerata all’inizio, le due costruzioni producono oggetti isomorfi.

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